Подготовка к контрольной работе по математике

Поверхности второго порядка

К невырожденным поверхностям второго порядка относятся эллипсоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид, однополостной гиперболоид и двуполостной гиперболоид. Строгое изучение этих поверхностей проводится в курсе аналитической геометрии. Здесь же мы ограничимся определениями и иллюстрациями.

Определение 5.12. 

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением a  > 0, b  > 0, c  > 0, называется эллипсоидом .

1

Рисунок 5.7.1. Приложения двойного интеграла. Вычисление площадей плоских областей

Свойства гиперболического параболоида. Гиперболический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число. Гиперболический параболоид обладает осевой симметрией относительно оси Oz , плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей Oxz и Oyz . В сечении гиперболического параболоида плоскостью, ортогональной оси координат Oz , получается гипербола, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy , – парабола.

Понятие объема в пространстве вводится аналогично понятию площади для фигур на плоскости.

Матрицы. Операции над матрицами

Прямоугольной матрицей размера m´n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов

Пример . Найти произведение матриц

Пример . Швейное предприятие производит зимние пальто, демисезонные пальто и плащи. Плановый выпуск за декаду характеризуется вектором X = (10, 15, 23). Используются ткани четырех типов Т 1, Т 2, Т 3, Т 4. В таблице приведены нормы расхода ткани (в метрах) на каждое изделие. Вектор С = (40, 35, 24, 16) задает стоимость метра ткани каждого типа, а вектор P = (5, 3, 2, 2) - стоимость перевозки метра ткани каждого вида.

Свойства эллипсоида.

    Эллипсоид – ограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует

    Эллипсоид обладает

      центральной симметрией относительно начала координат, осевой симметрией относительно координатных осей, плоскостной симметрией относительно начала координат.

    В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной любой из координатных осей, получается эллипс.

2
Рисунок 5.7.2.

Определение  5.13. 

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением a  > 0, b  > 0, называется эллиптическим параболоидом .

Свойства эллиптического параболоида.

    Эллиптический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z  ≥ 0 и принимает сколь угодно большие значения.

    Эллиптический параболоид обладает

      осевой симметрией относительно оси Oz , плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и Oyz .

    В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz , получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – парабола.

Определение 5.14. 

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением a  > 0, b  > 0, называется гиперболическим параболоидом .

3
Рисунок 5.7.3.

Метод вспомогательных секущих плоскостей