Подготовка к контрольной работе по математике

Окружность, отрезок и прямая

Окружностью называется геометрическая фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки плоскости. Эта точка называется центром окружности . Отрезок, соединяющий любую точку окружности с ее центром, а также его длина, называется радиусом окружности.

Окружность разбивает плоскость на две части. Одной из них принадлежат все точки плоскости расстояние от которых до центра окружности меньше или равно ее радиуса. Эта часть плоскости называется кругом . Про окружность при этом говорят как о границе круга, а ее радиус считается также радиусом круга. О точках плоскости, не принадлежащих кругу , говорят как о точках, лежащих вне окружности. Очевидно, что расстояние до каждой такой точки от центра окружности больше ее радиуса.

Определение окружности позволяет проиллюстрировать понятие геометрического места точек.

Геометрическим местом точек (ГМТ) называется совокупность таких и только таких точек плоскости, которые обладают заданным свойством.

В соответствии с этим определением окружность – это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки. Действительно, все точки окружности и только они обладают тем свойством, что лежат на расстоянии радиуса от ее центра.

Отрезок , соединяющий две точки окружности, называется хордой . Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром .

Прямая, имеющая единственную общую точку с окружностью, называется касательной , а их общая точка – точкой касания.

Свойство 6.1. 

Pадиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Дугой окружности , соответствующей центральному углу, называется часть окружности, расположенная внутри центрального угла.

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек, называемых вершинами, и четырех соединяющих их отрезков – сторон.

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. Высотой параллелограмма , проведенной к данной его стороне, называется перпендикуляр, опущенный из произвольной точки противолежащей стороны к прямой, содержащей данную сторону.

Две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Если две прямые a и b параллельны, то, как и в планиметрии, пишут a  ||  b . В пространстве прямые могут быть размещены так, что они не пересекаются и не параллельны. Этот случай является особым для стереометрии.

Две плоскости называются параллельными , если они не имеют общих точек.

В основе изображения фигур на плоскости лежит параллельное проектирование

С появлением в стереометрии скрещивающихся прямых возникает вопрос: как определить угол между двумя скрещивающимися прямыми?

Доказательство

Пусть ω ( O R ) – данная окружность, прямая a касается ее в точке P . Пусть радиус OP не перпендикулярен к a . Проведем из точки O перпендикуляр OD к касательной. По определению касательной, все ее точки, отличные от точки P , и, в частности, точка D лежат вне окружности. Следовательно, длина перпендикуляра OD больше R – длины наклонной OP . Это противоречит свойству наклонной, и полученное противоречие доказывает утверждение.

Говорят, что две окружности касаются , если они имеют единственную общую точку. Эта точка называется точкой касания окружностей .

Проведем через точку касания окружностей касательную к одной из них. Тогда можно доказать, что она будет касательной и к другой окружности, то есть будет общей касательной. Будем говорить, что окружности касаются внешним образом, если их центры лежат в разных полуплоскостях от общей касательной, и внутренним образом, если центры лежат в одной полуплоскости от общей касательной.

Рисунок 6.1.4.

Свойство 6.2. 

Диаметр окружности, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен ей.

Доказательство

Пусть AB – хорда окружности и C – ее середина. Треугольник AOB – равнобедренный с основанием AB . Боковые стороны AO и OB равны как радиусы окружности. По свойству медианы равнобедренного треугольника, проведенной к основанию, отрезок OC является высотой. Поэтому диаметр окружности, проведенный через середину хорды, перпендикулярен хорде. Свойство доказано.

Рисунок 6.1.5.

Свойство 6.3. 

Прямая, проведенная через центры касающихся окружностей, проходит через точку их касания.

Доказательство

Соединим центры окружностей с точкой их касания. Поскольку через точку A касания двух окружностей проходит общая касательная l к этим окружностям, то угол ( l  , [ AO 1 )) = ( l  , [ AO 2 )) = 90°. Следовательно, угол O 1 AO 2 – развернутый и точки O 1 A O 2 лежат на одной прямой a , перпендикулярной к касательной l . Свойство доказано.


Метод вспомогательных секущих плоскостей