Подготовка к контрольной работе по математике

Треугольник

Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки попарно. Точки называются вершинами , а отрезки – сторонами треугольника.

Углом треугольника ABC (треугольник обозначается Δ  ABC ) при вершине A (или углом между сторонами AB и AC ) называется угол, образованный лучами AB и AC ; A  =  BAC  =  CAB . Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине.

Рисунок 4.1.1.

Треугольник называется разносторонним , если любые две стороны его не равны друг другу. Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним .

Треугольник называется остроугольным , если все его углы острые. Треугольник называется тупоугольным , если один из его углов тупой.

Признаки равенства треугольников Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Треугольник называется равнобедренным , если у него две стороны равны. Эти стороны называются боковыми , а третья сторона – основанием .

Сумма углов треугольника

Треугольник называется прямоугольным , если у него есть прямой угол.

Пропорциональные отрезки и средняя линия треугольника

Аксиомы позволяли приписывать отрезкам и углам числа, равные их мерам, то есть измерять отрезки и углы. До сих пор не было связи между величинами углов и длинами отрезков. С введением треугольников появляется возможность связать величины градусных мер углов треугольника и длин его сторон. Рассмотрим соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника .

Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, т.е. Треугольник имеет шесть основных элементов: три угла A , B , C и три стороны a , b , c .

Решить треугольник – значит найти все эти шесть элементов. Обычно даны три элемента, среди которых хотя бы один линейный

 

Два треугольника называются равными ( Δ  ABC  = Δ  A 1 B 1 C 1 ), если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны

Следствие 4.1. 

Если вершины одного треугольника совпадают с вершинами другого треугольника, то такие треугольники равны. Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины, к прямой, которая содержит противолежащую сторону треугольника.

Бисcектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой противолежащей стороны.

Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противоположной стороны треугольника.

Основное утверждение, используемое для доказательства теорем этой главы, задается аксиомой:

Аксиома 4.1. 

Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном положении относительно данного луча.

Рисунок 4.1.2.


Курс лекций по математике в обьеме средней школы