Подготовка к контрольной работе по математике

Линейная функция

Прямая пропорциональность

Рассмотрим следующую задачу. Мотоцикл движется со скоростью 50 км/ч. Построить график зависимости расстояния, пройденного автомобилем, от времени за первые 6  часов движения.

Поместим сведения о движении мотоцикла в таблицу.

t , час0123456 S  ( t ), км050100150200250300 Таблица 2.1.1.1.

График 2.1.1.1. Построим по этой таблице график функции y  =  S  ( t ). Точки, описанные в таблице, лежат на одной прямой y  = 50  t  (км). Если мы хотим узнать путь мотоцикла за 3,5 часа, найдем на оси абсцисс точку t  = 3,5, восстановим к этой оси перпендикуляр из данной точки. Он пересечет график функции в точке A . Спроецировав точку A на ось ординат, получим путь, равный 175 км.

Функция y  =  kx  +  b называется линейной функцией . Ее график получается путем параллельного переноса графика функции y  =  kx на b вверх, если b  > 0, и на | b | вниз, если b  < 0. Кроме того, если k  ≠ 0, то Значит, график функции y  =  kx  +  b получится из графика y  =  kx сдвигом на Уравнение прямой

Квадратный трехчлен

Квадратичной называется функция вида y  =  ax 2  +  bx  +  c , где a  ≠ 0, b , c – любые действительные числа. Уравнение ax 2  +  bx  +  c  = 0, где a  ≠ 0, называется квадратным уравнением .

В рассмотренной задаче, как и во многих других случаях, встречается ситуация, когда одна величина изменяется пропорционально другой. Так, длина окружности изменяется пропорционально ее радиусу: l  = 2π R , площадь прямоугольника с постоянной шириной b пропорциональна длине прямоугольника: S  =  a  ·  b , путь при равномерном движении пропорционален времени. В таких случаях мы имеем дело с функцией y  =  k   x , называемой прямой пропорциональностью . Графиком этой функции является прямая, проходящая через начало координат и не совпадающая с осью OY . Число k называется наклоном или угловым коэффициентом прямой.


Рассмотрим k  > 0 и выберем на графике y  =  kx точку A  (1;  k ). Пусть α – угол, образованный графиком с положительным направлением оси OX (его называют углом наклона прямой). Из прямоугольного треугольника OAB (см.  рисунок) имеем, что

График 2.1.1.2.

Если же k  < 0, то график функции y  =  kx образует с положительным направлением оси абсцисс тупой угол β. Выберем на графике точку A  (1;  k ) Из теоремы о смежных углах следует, что α = 180º – β. Следовательно, Наконец, если k  = 0, то угол α также равен нулю. Таким образом доказана следующая теорема.


Тангенс угла наклона прямой относительно оси абсцисс y  =  kx равен угловому коэффициенту k .


Курс лекций по математике в обьеме средней школы