Подготовка к контрольной работе по математике

Периодические функции

Функция f  ( x ) называется периодической с периодом T  ≠ 0, если выполняются два условия:

Поскольку то из приведенного определения следует, что f  ( x  –  T ) =  f  ( x ).

Если T – период функции f  ( x ), то очевидно, что каждое число nT , где , n ≠ 0, также является периодом этой функции.

Наименьшим положительным периодом функции называется наименьшее из положительных чисел T , являющихся периодом данной функции.

График 1.3.4.1.

Монотонность функций Функция f  ( x ) называется возрастающей на промежутке D , если для любых чисел x 1 и x 2 из промежутка D таких, что x 1 < x 2, выполняется неравенство f ( x 1 ) < f ( x 2 ).

Перечислим свойства монотонных функций (предполагается, что все функции определены на некотором промежутке D ).

Точка наибольшего или наименьшего значения может быть экстремумом функции, но не обязательно им является. Точку наибольшего (наименьшего) значения непрерывной на отрезке функции следует искать среди экстремумов этой функции и ее значений на концах отрезка.

График периодической функции обычно строят на промежутке [ x 0 ; x 0 + T ), а затем повторяют на всю область определения.

Хорошим примером периодических функций могут служить тригонометрические функции y = sin x , y = cos x (период этих функций равен 2π), y = tg x (период равен π) и другие. Функция y = const также является периодической. Для нее периодом является любое число T  ≠ 0.

Рисунок 1.3.4.1.

Не следует думать, что периодическими бывают только тригонометрические функции. Функция y  = [ x ], где [ x ] – целая часть числа x (наибольшее целое число, не превосходящее x ) позволяет определить функцию y  = { x }, где { x } – дробная часть числа x . По определению { x } =  x  – [ x ] (например, {3,7} = 0,7, {–6} = 0, {–4,2} = –4,2 – (–5) = 0,8). Дробная часть числа – функция с периодом T  = 1. 

В заключение отметим свойства периодических функций.

  • Если f  ( x ) – периодическая функция с периодом T , то функция g  ( x ) =  A  ·  f  ( kx  +  b ), где k  ≠ 0 также является периодической с периодом .
  • Пусть функции f 1 ( x ) и f 2 ( x ) определены на всей числовой оси и являются периодическими с периодами T 1 > 0 и T 2 > 0. Тогда если то функция периодическая с периодом T , равным наименьшему общему кратному чисел и

Курс лекций по математике в обьеме средней школы