Математика Графика Дизайн История Кибернетика На главную

Теоретическая кибернетика

Теория массового обслуживания

Простейшие системы массового обслуживания и их характеристики

В этой лекции мы рассмотрим некоторые простейшие СМО и выведем выражения для их характе­ристик (показателей эффективности).

Все потоки событий, переводящие СМО из состоя­ния в состояние, будем счи­тать простейшими. В их числе будет и так называемый поток обслуживания. Под ним понимается поток заявок, обслуживаемых одним непрерывно заня­тым каналом. В этом потоке интервал между событиями, как и всегда в простейшем потоке, имеет показательное распределение.

n-канальная СМО с отказами (M| M| n)- задача Эрланга

Это классическая задача ТМО, возникла в телефонии и была решена в начале века датским математиком Эрлангом.

Имеем n каналов связи, на которые поступает поток заявок с интенсивностью l (l=1/среднее время между заявками).

Поток обслуживания имеет интенсивность m (m=1/ среднее время обслуживания).

Заявки, пришедшие, когда все каналы заняты, получают отказ и уходят из системы.

Решение. Номер состояния системы равен числу заявок в системе. Т.к. система с отказами, то число состояний системы равно n+1 (числу каналов в системе + нулевое состояние).

Пример. Имеется станция связи с тремя каналами (n=3), интенсивность потока заявок l= 1,5 (заявки в мину­ту); среднее время обслуживания одной заявки tобсл=2 (мин.), все потоки событий простейшие. Найти финальные вероятности состояний и характеристики эффективности СМО: А, Q. Pотк , kср .

Одноканальная СМО с неограниченной очередью На практике довольно часто встречаются одноканальные СМО с очередью (врач, обслуживающий пациен­тов; телефон-автомат с одной будкой; ЭВМ, выполняю­щая заказы пользователей, касса в магазине, автозаправочная станция…). В теории массового обслу­живания одноканальные СМО с очередью также занимают особое место (именно к таким СМО относится большинство полученных до сих пор аналитических формул для немарковскнх систем).

Теоретически число состояний ничем не ограничено

Найдем среднее число заявок в СМО Lсист

Пример. Одноканальная СМО представляет собой железнодорожную сортировочную станцию, на которую по­ступает простейший поток составов с интенсивностью l= 2 (состава в час). Обслуживание (расформирова­ние) состава длится случайное показательное время со средним значением tобсл=20(мин). В парке прибытия станции имеются два пути, на которых могут ожидать обслуживания прибывающие составы; если оба пути заняты, составы вынуждены ждать на внеш­них путях.

Пример.Железнодорожная касса по продаже билетов с двумя окошками представляет собой двухканальную СМО с неограниченной очередью, устанавливающейся сразу к двум окошкам (если одно окошко освобождается, ближай­ший в очереди пассажир его занимает).

Одноканальная СМО с ограниченной очередью

Немарковские СМО В этом параграфе мы кратко рассмотрим некоторые вопросы, относящиеся к немарковским СМО. До сих пор все формулы нами выводились из схемы гибели и размножения, формулы Литтла и умения дифференцировать. То, что будет рассказано в данном параграфе, придется принять на веру.

Многоканальная немарковская СМО

Найти финальные вероятности, а также характеристики эффективности системы:

A- абсолютная пропускная способность (среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени),

Q- относительную пропускную способность (ср. доля пришедших заявок, обслуживаемых системой),

Pотк - вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной,

 kср - среднее число занятых каналов.

Машиностроительное черчение, математика. Примеры решений контрольных и курсовых заданий