Математика Графика Дизайн История Кибернетика На главную

Теоретическая кибернетика

Теория массового обслуживания

Задачи теории массового обслуживания

При исследовании операций часто приходится сталкиваться с работой своеобразных систем, называе­мых системами массового обслуживания (СМО). При­мерами таких систем могут служить: телефонные станции, ремонтные мастерские, билетные кассы, справочные бюро, магазины, парикмахерские и т.п.

Каждая СМО состоит из какого-то числа обслужи­вающих единиц (или «приборов»), которые мы будем называть каналами обслуживания. Каналами могут быть: линии связи, рабочие точки, кассиры, продавцы, лифты, автомашины и др. СМО могут быть одноканальными и многоканальными.

Всякая СМО предназначена для обслуживания ка­кого-то потока заявок (или

«требований»), посту­пающих в какие-то случайные моменты времени. Об­служивание заявки продолжается какое-то, вообще говоря, случайное время ts, после чего канал осво­бождается и готов к приему следующей заявки. Слу­чайный характер потока заявок и времен обслужива­ния приводит к тому, что в какие-то периоды времени на входе СМО скапливается излишне большое число заявок (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО не обслуженными); в другие же периоды СМО бу­дет работать с недогрузкой или вообще простаивать. Например, автобусы на маршруте, мастера в парикмахерской, продавцы в магазине. Теория машин и механизмов Червячная зубчатая передача Эта передача является частным случаем гиперболоидной зубчатой передачи. Угол скрещивания осей в большинстве случаев равен 90°.

Классификация СМО Системы массового обслуживания

Терминология ТМО Теория массового обслуживания

Потоки событий. Простейший поток

Ординарный поток Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события. Ординарность потока означает, что события в потоке приходят поодиночке, а не парами, тройками и т.д

Пуассоновский поток

Уравнения Колмогорова Теперь вернемся к системе с дискретными состояниями и непрерывным временем. Мы уже отмечали, что состояния такой системы изменяются в моменты прихода требований, в моменты обслуживания требований или в моменты, когда требование покидает систему необслуженным.

Стационарный режим в СМО

Схема гибели и размножения Мы знаем, что, имея в распоряжении размеченный граф состояний, можно легко написать уравнения Колмогорова для ве­роятностей состояний, а также написать и решить алгебраические уравнения для финальных вероятностей. Для некоторых случаев удается последние уравнения решить заранее, в буквенном виде.

Формула Литтла

Процесс работы СМО представляет собой случай­ный процесс с дискретными состояниями и непрерыв­ным временем; состояние СМО меняется скачком в моменты появления каких-то событий (или прихода новой заявки, или окончания обслуживания, или мо­мента, когда заявка, которой надоело ждать, покидает очередь).

Предмет теории массового обслуживания — построе­ние математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, их производи­тельность, правила работы, характер потока заявок) с интересующими нас характеристиками — показате­лями эффективности СМО, описывающими, с той или другой точки зрения, ее способность справляться с потоком заявок

В качестве таких показателей (в зави­симости от обстановки и целей исследования) могут применяться разные величины, например:

среднее число заявок, обслуживаемых СМО в единицу време­ни;

среднее число занятых каналов;

среднее число заявок в очереди и среднее время ожидания обслужи­вания;

вероятность того, что число заявок в очереди превысит какое-то значение, и т. д. Среди заданных условий работы СМО мы намеренно не выделяем эле­ментов решения: ими могут быть, например, число каналов, их производительность, режим работы СМО и т. д. Важно уметь решать прямые задачи исследова­ния операций, а обратные ставятся и решаются в за­висимости от того, какие именно параметры нам нуж­но выбирать или изменять. Что касается задач опти­мизации, то мы ими здесь почти не будем заниматься, разве только в простейших случаях.

Математический анализ работы СМО очень облег­чается, если процесс этой работы — марковский. Мы уже знаем, что для этого достаточно, чтобы все потоки событий, переводящие систему из состояния в состоя­ние (потоки заявок, потоки «обслуживания»), были простейшими. Если это свойство нарушается, то мате­матическое описание процесса становится гораздо сложнее и довести его до явных, аналитических фор­мул удается лишь в редких случаях. Однако все же аппарат простейшей, марковской теории массового об­служивания может пригодиться для приближенного описания работы СМО даже в тех случаях, когда по­токи событий — не простейшие. Во многих случаях для принятия разумного решения по организации работы СМО вовсе и не требуется точного знания всех ее характеристик — зачастую достаточно и приближенно­го, ориентировочного.

Машиностроительное черчение, математика. Примеры решений контрольных и курсовых заданий