Математика Графика Дизайн История Кибернетика На главную

Теоретическая кибернетика

Моделирование биномиальных распределений

Рассмотрим случайную величину x, которая подчиняется биномиальному распределению с параметром p:

P(x=k)=Cnkpk(1-p)n-k,  k=0,1,…,n.

Это вероятность того, что при n экспериментах некоторое событие произойдет ровно k раз, если в одном опыте вероятность его появления равна p. Конечно, x можно моделировать по Теореме 1, но, чтобы не вычислять все вероятности pk, можно воспользоваться следующим алгоритмом. Для каждого из чисел g1,g2,…,gn проверяется неравенство g<p. Если это неравенство оказалось выполненным k раз, то x=k.  Т.е. .

Приближенное моделирование нормального распределения

Рассмотрим сумму n независимых равномерно распределенных

величин ,  Mz=n/2, Dz=n/12, тогда нормированная сумма  ,

или  .

Согласно ЦПТ при n®¥ распределение x стремится к нормальному.

Моделирование усеченных распределений

Метод Неймана

Вычисление интегралов методом Монте-Карло Мы уже говорили о том, что методами Монте-Карло вычисляют математические ожидания (МО) некоторых случайных величин. Так как чаще всего МО - это обычные интегралы, то центральное место в приложениях метода Монте-Карло занимают методы вычисления интегралов.

Простейший метод Монте-Карло

Пример. Пусть надо вычислить интеграл  где k>0.

Частичное аналитическое интегрирование

Интегрирование по части области

Теорема

Пример.

Нормированная сумма n независимых одинаково распределенных величин ~N(0,1): 

Причем асимптотика устанавливается очень быстро. Для n=12 .

Иногда ограничиваются лишь пятью слагаемыми, но зато добавляют поправку, которая ускоряет сходимость распределения к нормальному: .

Методы отбора

Пусть в некотором пространстве  задана случайная точка с функцией распределения   и некоторой областью

Рассмотрим случайную величину

Чтобы вычислить x, надо выбрать QÎG. Если QÎB ,то вычисляется x; если QÏB , то точка Q отбрасывается и выбирается новая.

Т.е., из случайных точек Q с функцией распределения  отбирают точки, принадлежащие B, и по ним вычисляется x.

Формула   определяет метод отбора.

В начале курса мы рассмотрели пример, где

Эффективностью метода отбора называют вероятность отбора, или вероятность того, что точка Q будет использована для расчета x, а не будет отброшена.

т.е. эффективность метода

Выбрав N точек Q, мы используем эффективность N точек для расчета x. Очевидно, чем > э(эффективность), тем лучше.

Машиностроительное черчение, математика. Примеры решений контрольных и курсовых заданий