Векторная алгебра Вычислить интеграл

Примеры решения задач по математике

Непрерывность функции

Понятие непрерывности функции

Определение. Функция  называется непрерывной в точке , если предел функции в точке  и значение функции в этой точке равны, то есть

.

В этом определении выделим следующие три условия:

Функция в точке  определена (то есть существует ).

Функция имеет конечный предел в точке .

Этот предел равен значению функции в точке .

Сформулируем другое определение непрерывности функции в точке .

Определение. Функция   называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке, и бесконечно малому приращению аргумента  соответствует бесконечно малое приращение функции , то есть

.

Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Если функции  и  непрерывны в точке , то и функции

также непрерывны в точке .

Определение. Функция  называется непрерывной справа в точке , если . Функция  называется непрерывной слева в точке , если .

Если функция  непрерывна слева и справа в точке   и определена в этой точке, то она непрерывна в точке , то есть  и наоборот.

Таким образом, необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке имеет вид:

 (*)

Точки разрыва функции и их классификация

Пусть функция  не является непрерывной в точке , тогда точка  называется точкой разрыва этой функции.

Если функция не удовлетворяет условию (*) в точке , следовательно, она разрывна в точке .

Рассмотрим различные случаи.

, то есть левый и правый пределы в точке   существуют и равны между собой, но не равны значению функции в точке . Тогда  называется точкой устранимого разрыва. Разрыв в точке  легко устранить, если взять . В этом случае функция в точке  станет непрерывной.

, но  не существует (то есть в точке  функция не определена). Точка  называется точкой устранимого разрыва. Устранить разрыв можно, доопределив функцию в точке . .

Функция в точке  имеет левый и правый пределы, но они не равны. . Точка  называется точкой разрыва с конечным скачком.

Скачком функции  в точке  называется значение .

Точки устранимого разрыва и точки разрыва с конечным скачком называются точками разрыва первого рода. В них левый и правый пределы существуют и конечны. В точке разрыва второго рода хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует.


Математика. Примеры решений типовых заданий