Векторная алгебра Вычислить интеграл

Примеры решения задач по математике

Вычисление площадей плоских фигур. Область называется правильной относительно оси , если любая горизонтальная (вертикальная) прямая пересекает границу области не более чем в двух точках. Если область правильная относительно осей Ox и Oy, то она просто называется правильной областью. Области на рис. 6 - правильные относительно оси , на рис. 7 - относительно оси .

Условимся дальше области, правильные относительно оси , штриховать линиями, параллельными оси .

1. Если область G, правильная относительно оси , проектируется на ось Ox в отрезок , то ее граница разбивается на две линии: нижнюю границу области, задаваемую уравнением , и верхнюю, задаваемую уравнением . Тогда область G определяется системой неравенств

 8, 9;

а площадь фигуры, заключенной между кривыми  и , на отрезке  вычисляется по формуле

. (5.11)

Если область G, правильная относительно оси Ox, проектируется на ось Oy в отрезок , то ее граница разбивается на две линии: левую границу области, задаваемую уравнением , и правую, задаваемую уравнением . В этом случае область G определяется системой неравенств

а площадь фигуры, заключенной между кривыми  и , на отрезке  вычисляется по формуле

 . (5.12)

2. Если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию, задана параметрическими уравнениями , то площадь криволинейной трапеции

  ; (5.13)

где a и b определяются из уравнений  и .

3. В случае, когда непрерывная кривая задана в полярных координатах уравнением , площадь криволинейного сектора , ограниченного данной кривой и двумя полярными радиусами  и , которые соответствуют значениям  и  полярного угла, выражается интегралом

  . (5.13)

Вычисление длины дуги

1. Пусть дуга AB кривой задана уравнением , где  - непрерывно дифференцируемая функция. Тогда длина дуги AB

 . (5.14)

2. В случае, когда кривая задана параметрическими уравнениями , , где  - непрерывно дифференцируемые функции, длина дуги вычисляется по формуле

 . (5.15)

Здесь α, β  - значения параметра t, соответствующие концам дуги AB.

3. Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением , то длина l дуги AB вычисляется по формуле

, (5.16)

где  и  соответствуют концам дуги AB.

8. Пусть криволинейная трапеция, ограниченная прямыми линиями ,  и частью графика кривой , вращается вокруг оси . Тогда объем полученного при этом тела вращения вычисляется по формуле

 . (5.17)

Пример 1. Найти .

▲ Используя формулы (5.1), имеем

.

Проверка. .▼

Пример 2. Найти .

▲ Применяя (5.2), получим

.▼

Пример 3. Найти .

▲ Применяя формулу (5.3), имеем

. ▼

Пример 4. Найти .

.

Перенося последний интеграл в левую часть равенства, получим

.

Следовательно, . ▼

Пример 5. Найти .

▲ Рациональная подынтегральная дробь является правильной (см. методы интегрирования 4) и разлагается на простейшие дроби вида (5.4):

.

Если привести дроби из данного разложения к общему знаменателю, то он совпадает со знаменателем исходной подынтегральной функции. Числители в левой и правой частях последнего равенства будут тождественно равными, т.е.

.

Для нахождения неизвестного коэффициента A используем метод частных значений, т. е. подставим вместо переменной x ее частное значение, совпадающее с вещественным корнем знаменателя, . Получим равенство , откуда следует, что .

Для вычисления значений M, N используем метод неопределенных коэффициентов. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях полученного тождества, получаем систему уравнений

Решение этой системы: . Таким образом,

. ▼

Пример 6. Найти .

. ▲


Математика. Примеры решений типовых заданий