Векторная алгебра Вычислить интеграл

Примеры решения задач по математике

Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод замены переменной является одним из основных методов интегрирования.

Пример 1. Вычислить интеграл.

Р е ш е н и е

Выполним подстановку , тогда , откуда .

Заданный интеграл преобразуется теперь к табличному

.

Возвращаясь к первоначальной переменной , получим

Пример 2. Вычислите интеграл .

Р е ш е н и е

Сделаем подстановку , тогда .

Интеграл примет вид

.

При решении этой задачи можно рассуждать иначе. Введём множитель  под знак дифференциала, тогда получим

.

Пример 3. Вычислить интеграл

Р е ш е н и е

Запишем интеграл в виде , тогда удобно сделать замену .

Интеграл примет вид

.

Замечание 1.

Пусть , тогда

.

Будем использовать этот результат в дальнейших вычислениях

.

Например:

.

.

Замечание 2.

Если подынтегральное выражение содержит , то удобно применить подстановку  или подстановку .

Если подынтегральное выражение содержит , то удобно применить подстановку  или подстановку .

Если подынтегральное выражение содержит , то удобно применить подстановку  или подстановку .

Пример 4. Вычислить интеграл .

Р е ш е н и е

Так как под интегралом есть радикал , то сделаем подстановку ; откуда .

Имеем:

.

.


Математика. Примеры решений типовых заданий