Векторная алгебра Вычислить интеграл

Примеры решения задач по математике

Метод интегрирования по частям

Метод интегрирования по частям основан на формуле

 (1)

которая называется формулой интегрирования по частям.

Применяя этот метод, мы должны вначале представить подынтегральное выражение в виде произведения одной функции на дифференциал другой функции. Пользуясь формулой (1), надо следить, чтобы подынтегральное выражение  было не сложнее, чем подынтегральное выражение .

При вычислении можно пользоваться следующими практическими советами. Если подынтегральное выражение представляет собой произведение либо тригонометрической функции на многочлен, либо показательной на многочлен, то за  следует принимать этот многочлен.

Если в подынтегральное выражение входит множителем либо одна из обратных тригонометрических функций, либо функция , то за  следует выбрать одну из указанных функций.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Р е ш е н и е

Положим,

 

Используя формулу (1), получим

Пример 2. Вычислить интеграл .

Р е ш е н и е

Пусть

 

Имеем:

Полученный интеграл ещё раз интегрируем по частям:

 

Окончательно получим:

Пример 3. Вычислить интеграл

.

Р е ш е н и е

Интегрируем по частям:

 ,

.

Мы получили интеграл той же сложности, что и исходный. Проинтегрируем его ещё раз по частям:

 ,

.

Отсюда получим

.

Перенесём интеграл из правой части равенства в левую и найдём его как из уравнения:


Математика. Примеры решений типовых заданий